日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 4U{ Jsc  
W2j}AgI  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )QaFnj+L  
L@N$N =  
　　1、三角函数本质： 'WD!}Vx  
(z[zNu:6  
　　三角函数的本质来源于定义 1$6aQ<.:!  
IZ1vAxK>$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4EN9;tX  
[!q*kB}  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ;8KL:e Hh  
rq\PEf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： t"\r@'M}a,  
3BQC[8,G/  
　　推导： RvgiQ"v0  
9C L;WAc  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 zNd [t  
x:1 K4><  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) WdMU-G(  
*)NIlaev  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Mff%glk>  
7 .^Gwc z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 W3lyY%d$  
d RnT"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 03;Ue  
Y #VpucU  
　　[1] U< -y[Z=+  
,Hb8"-M  
　　两角和公式 j?Pe,P?k[U  
n7[l `>9S  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p E H/rjF  
Ut]T$d? }  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  %bWS\=K  
S*(1sPNB:  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB h < ?L b  
yLzxUY !  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]O#nS;Eu  
9<-v*8<[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @o+GD*F  
Pu}P9Qy{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {0#6/b1  
9aZb'sctzD  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  e[8~b W  
1TkVdM tY,  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '8n"|0yY|  
`c0MC"  
倍角公式 Za 42c6  
/}8;f5  
　　Sin2A=2SinA•CosA CW)-#hos  
}r_2g7 U  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 vZ ='C#VJ  
Y |.iyb(2  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Mo_O{G0(  
ip5: 1o-  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） j 4/ X1  
EF=Vr"#  
三倍角公式 T(h$)TB#L  
Zz1G, n=  
　　 $@Zqw=?!  
}CLv}{MM  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _g^KsvG,,  
7]AZ]-y?S  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) cu 8r^:o;$  
i*85}e  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) l(C>$5?  
nQCP(.b^  
三倍角公式推导 /%*O+  
y!q>RP1.  
　　sin3a lL# mSQ:  
,A5ik7F0  
　　=sin(2a+a) 41PHuUnwn  
{K"(kz."  
　　=sin2acosa+cos2asina :4N9j^`)$  
3=!s7B@!F  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Y*3mA W!  
{`]m3Mr{h  
　　=3sina-4sin³a >}"?eji   
._j,T"Jx  
　　cos3a >`NZ[I  
ySaSx;pd|  
　　=cos(2a+a) j)%D  
gx*e2UJsP  
　　=cos2acosa-sin2asina sn^q^DCW  
{W &6!#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa K7?hrM=2/=  
tYXF nQ1p  
　　=4cos³a-3cosa 4y2MKg6!  
Lbq#f>JX  
　　sin3a=3sina-4sin³a )IYIG":  
wk3F:  
　　=4sina(3/4-sin²a) '~tC[#'  
) T$x.  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  ?Di0Pp<  
Jy-s{)  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 7|6%d Txg  
I9[DT 5  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ?@92$<*X<  
CZ/x)9k ;  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] X>7A*+C%Y  
Cv[l+r Y  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) `M?>H]1{  
3a/m+@>  
　　cos3a=4cos³a-3cosa A ^6d{4K  
)pv5=^  
　　=4cosa(cos²a-3/4) & -xnjafO  
wiQjjd[~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] !URg 2^  
=?SL=s@?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :vY(kJ@  
rQ%~P ;ZC  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) qs[M T:w  
(K]b}S:|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} hC( GoT.?  
=I"kDEG=  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ZUSbRqd=  
3^' ++  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }Yt).~3  
63>PX3Go  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] e#Yc3;N4  
g (t@.80  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 6@}qA~z1k  
SGF $2C@  
　　上述两式相比可得 UcZ! ]v  
yIbc?1~{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) .",|I P  
w}}^AGsR  
半角公式 APYMt*E\  
Q]wzN2m{?  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Xgk<  
Re|`Ht  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. H)@bPT=  
LZS[!4f  
和差化积 ndiU?>D  
i}oT(?#{  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D pFY\F&k  
35]Glx;;6;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DCl=&</;  
Bq s M  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] z IXMb4  
u VstD=w  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2.k<> v8/  
*'>L4o>  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) +?2} LV+  
qWyU`PC'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ='U1g<k]  
0Z G@zp  
积化和差 N\g;fD.3  
<Fgv!Lq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &<=!%H  
=\s,Y--  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] O=Tw0&l  
,- *'wk  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 9']C=BQc`  
ci0e)O!^s  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 5V\#1 t   
rK<.4AO&  
诱导公式 j8{p)jm  
Kd$c7\MN C  
　　sin(-α) = -sinα |qgtr<F(X  
28 >(/n 5d  
　　cos(-α) = cosα RLR> e+n  
&[4O6.|W  
　　sin(π/2-α) = cosα u#2Y e< W  
b_X z  
　　cos(π/2-α) = sinα 2yk~c]5s  
h|H7'C8  
　　sin(π/2+α) = cosα @L1M7GP{Uh  
:5pv\* #  
　　cos(π/2+α) = -sinα NS{ONXF"  
RhQ$QNi  
　　sin(π-α) = sinα [5}gtLa)W  
#ipf+?-4}  
　　cos(π-α) = -cosα v&a iDysS  
aoce}JB%  
　　sin(π+α) = -sinα LfP M2-  
{O0XIe7Y  
　　cos(π+α) = -cosα TuAZ D  
9L6v~I-<  
　　tanA= sinA/cosA ,l{B{t7  
~a4sG6$1  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ze & Ft0U  
9| W~zzK  
　　tan（π/2－α）＝cotα -YU8s<(L  
DB<sA]1~e(  
　　tan（π－α）＝－tanα 7Hw \%  
r&<>a@?  
　　tan（π＋α）＝tanα m^KbGx_ <  
`&8<G,  
万能公式 ^OC{qQg6  
cax@>  
　　 n0jB=ThR  
X62.a\@  
其它公式 % +-|sV6  
  V.XY_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 xYenI`xs\F  
cUE<udT |  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 o|}BV3N}g  
f E=H?<5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @p:,hR@QN  
Z`{'5TlbUh  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |4-SB>s  
q;TrQ{>  
　　对于任意非直角三角形,总有 XpD qro  
*OK< 9T!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7#7e0B;- f  
msE; 6A@.  
　　证: VMF~|4'  
4+=a;^o)R  
　　A+B=π-C !o$t>64f2  
*UR}O4U_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) _L[$5,sA  
I(nWVjdNt  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V LRLv  
_+wKpV<i  
　　整理可得 `n$;%yO  
LsCA)e U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ZG7ry.(Om  
>*52_On  
　　得证 2 s66f.\`  
G+"<}JW @  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 `xnac(?  
{LS]ceqb.  
其他非重点三角函数 `Q oHuC  
onF $o I-  
　　csc(a) = 1/sin(a) p;aIPP|k  
jyLUtZE*4  
　　sec(a) = 1/cos(a) AkdcZ]  
Br'w^ +  
　　 {+D~YSP4  
NA}]8v+IP  
双曲函数 T1AEumb\z  
p(bH'w8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .2Bix@v  
/EJ%,  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ++(E.2~S  
Ge a;p-'>  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) i* -iG]  
Rgqr}NG^w  
　　公式一： ]6QSg<B&  
_d:1_Hqq  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ~39.QqIfMU  
R#C'o;  
　　sin（2kπ＋α）= sinα (+Qm[yZd  
l,3i 0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ti d6[_>  
w1OIL \9~u  
　　tan（kπ＋α）= tanα %|!D  
%t{TCmwT  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^4OtHs.  
>pDRim=5=*  
　　公式二： lx`b:\.  
%`%{)+#5  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 0vtE$K#w  
`K~Ov m  
　　sin（π＋α）= -sinα /VWHd  
6^SiyZR*Y  
　　cos（π＋α）= -cosα <]{ (C|hy"  
X`U1-"  
　　tan（π＋α）= tanα {+Y ed8m'  
=RIgFSn  
　　cot（π＋α）= cotα 78MI56CG  
!$( [{h8+  
　　公式三： NCchB- 3  
$.:NPkFk  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 3u#-fOP;Y  
UPKR  
　　sin（-α）= -sinα }DagXNj$  
+bB!YG9X  
　　cos（-α）= cosα SL$OPQ  
I M>F*n  
　　tan（-α）= -tanα Lt+2 3z  
_^6A0s=  
　　cot（-α）= -cotα r M63%DCC  
Mq\[<)gNM}  
　　公式四： zECwlo'LK  
+*sL\=  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ?&Uq~B@1a  
X]kZT^^  
　　sin（π-α）= sinα NZ=S|ks5  
">& Xz]V%  
　　cos（π-α）= -cosα Qw>B p  
7CP#X  
　　tan（π-α）= -tanα Z[W).G?  
kNVf?bf]i  
　　cot（π-α）= -cotα 7$VxgI|G  
`3*,\vq3  
　　公式五： k5P"  
sq9 t?tyu9  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ocy a{$A(  
I 2NM [U  
　　sin（2π-α）= -sinα \rzVmlD*  
qon .  
　　cos（2π-α）= cosα Jk&e'Nd  
HF0W`y ^`V  
　　tan（2π-α）= -tanα dSkHB5Z  
VH63+*4&  
　　cot（2π-α）= -cotα ?5tf%*$?+b  
l);+ ]7^  
　　公式六： x}FyE1UaR  
y|[&#(J.  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： iOvD8 -;  
m:*;oZd"b  
　　sin（π/2+α）= cosα X;/98eh  
DUV gX;  
　　cos（π/2+α）= -sinα 1q3*D  
k-J` M  
　　tan（π/2+α）= -cotα +_w@u&Y!  
bbKDw Bi  
　　cot（π/2+α）= -tanα kAt3yYJ6x  
M46 Qd,zUA  
　　sin（π/2-α）= cosα GTr4U  
5)N(~{"'  
　　cos（π/2-α）= sinα |`7^!(g3l  
Cw .T#v  
　　tan（π/2-α）= cotα X%qDU +o5!  
UQ'EU%  
　　cot（π/2-α）= tanα |%iFau)!  
eOEIg@1|  
　　sin（3π/2+α）= -cosα [U~!CqQ6e  
.{X(3ukeJ  
　　cos（3π/2+α）= sinα -k|KLH2  
Jr-VB[n  
　　tan（3π/2+α）= -cotα H,!?N*  
]{C</%y;p  
　　cot（3π/2+α）= -tanα A>~p]D"0=  
r7< QV@L  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  KJ5 ,|  
Cogwf  
　　cos（3π/2-α）= -sinα CcRT3^M9  
W-q9c z  
　　tan（3π/2-α）= cotα G%`Hm  
WYfgyW  
　　cot（3π/2-α）= tanα +x>,ON  
/jb@,:&d  
　　(以上k∈Z) w3"|Zs@K@  
gPq c||  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 //A$@#"^t  
2T'h}~$  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Wph<,-6[[  
3>U jii  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~&uAk6o.  
sH:d mly  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16538) |  收藏