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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 ?F%a5$7$  
oj=ui#_9,  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4HqdawL  
UXWo'#N^  
  1、三角函数本质: 2WvjoP  
$tGst93$n*  
  三角函数的本质来源于定义 1(R A3O</q  
*~%Ib  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y6_ZSn{  
  y0ut  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 FpF\`sHe&  
bxsBl4,j  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: jP 0*-4<  
:4 U)?  
  推导: 'T5XYq4J  
Gi nY'  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 iB6+KU  
!8wE"*0i^  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8 kL .7  
(R"%w;(  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) caNk${ 8#  
[Du19^MJ  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m_XazCezc3  
WaJ_RJ_w  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 22"zt f.)  
y3Yk~C5c  
  [1] }yR($c7dF  
{txzK U  
  两角和公式 %9FHf\i  
}gw<G'/p{  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s!~iFxl#%  
)1N &M#E<=  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   K[>q'|  
OQCd4QK  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }8W'|U(  
Q:@]^bL#$  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB WFL@d'd ze  
3=80wJWu  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zAESYxH?.  
CP,nW:  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0T!plfGSB  
zlz5+  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  43j}V)  
CYr,cIT8  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) KoSZY'  
!]6|o  
倍角公式 ^Qmj  
omO)s}  
  Sin2A=2SinA•CosA Q/' {W  
U$K<i  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 y h 9=A  
b\B|+:  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) G.mHc$  
[Q"DPJ G  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) JF@H!u2Nuu  
?zjZA, w  
三倍角公式 ]2z+CE05Ek  
\4#to'2c  
   ~^H \O1fI  
l*g%6Ew'  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) vt6xAlt(D?  
Fx ?/;2%  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) zS%XyMa E  
`QW16)3jX`  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _p(|~gJ<>  
`LOyk9a0  
三倍角公式推导 M? n* \  
?o[j6  
  sin3a c\PZQ  
 :u4"|8oa  
  =sin(2a+a) xl2>xu  
;J6TV 6,  
  =sin2acosa+cos2asina aI|od3;*w4  
Cppxy6]U  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina MM`JGW  
[uF^IJF+  
  =3sina-4sin³a _`sqKNY%m^  
w;S;`Uw  
  cos3a iM=3ct'  
J.*"ZHb_  
  =cos(2a+a) bQ68nvkU  
lrdo:Q  
  =cos2acosa-sin2asina nUk0Y1KqCu  
]J_T2m w  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ey73[j6V  
FQE`.~A  
  =4cos³a-3cosa #DT 6T^(  
c,(3& i  
  sin3a=3sina-4sin³a 7.60^ @R  
1~pW)W}  
  =4sina(3/4-sin²a) h!5CGrZQ  
-n$m  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] vU(5{  
?-"ZpJ  
  =4sina(sin²60°-sin²a) r/g_$p^9  
$ S-S  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) x]VD[C9 t  
O+ 4zW4;\n  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;n\plj}F=&  
Q^0Y]_|$  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) $i#n./!eiQ  
oSoHo[  
  cos3a=4cos³a-3cosa ^V/2xiW/  
nwZgy  
  =4cosa(cos²a-3/4)  `u0 M/@)  
H7_c"F%  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] G#=)6ryN  
+:HsOC\*  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) J*z9 :_W  
 n /004  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) deR'A%z`p  
!'.yX2l1A[  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} iL)IuSvr  
V<{|f~E c  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d!~eSNp  
_wP =l  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] J 2F W4  
xI "`  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X#[@m%1  
N,jm^E; {  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B_<QoFo=  
0RJ7_daD8  
  上述两式相比可得 )Vwp b}c,x  
 3O83-?  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _b3 P  
@!G h8  
半角公式 yYo   
*?Gf+LDy  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); M0D/{lSIj  
!D0NI/d.*  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <E+{A)   
M2=vH\~:.;  
和差化积 Dgx!u<V{d  
"qJDOiq*  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +/eFY  
|pMD  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !Na`8 )%Gi  
F4 1fMO-  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $49pqoyGt  
" Od [ta{4  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;$SO%F0  
NaEBRGo_s  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (.=)_[X  
16>`"}'  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ek`mwt ;m  
_WozdcQ  
积化和差 1_""hW  
*f8Y]W+Mw  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8p{"2 q\  
EC\IH 87  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k?o8\1iX8  
v[CEdK  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .5?CJ 5H  
XIn6, h:  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] jjAimuoC  
]]g:Q  
诱导公式 ZqPDVt<7w  
hC"&6PY]  
  sin(-α) = -sinα $~{\:p`@+  
&K29s0%k  
  cos(-α) = cosα JUSs-4ti  
SLV[_Y"_  
  sin(π/2-α) = cosα uqkpMi P  
a<.nj:8  
  cos(π/2-α) = sinα t^^y)GMC  
|@=0m".\  
  sin(π/2+α) = cosα }:Z2-,@k  
fQ>Gi@(O0  
  cos(π/2+α) = -sinα u=7nd 9  
d&J? HT=  
  sin(π-α) = sinα !T.AKb  
^=S(%,_',  
  cos(π-α) = -cosα /YS ~i^;  
Nf3e8-%  
  sin(π+α) = -sinα 27kJy  
i-.2L y  
  cos(π+α) = -cosα ,?QBSv  
0*c25+b  
  tanA= sinA/cosA Sz PJv  
y ZvE_0!^  
  tan(π/2+α)=-cotα DfKctFr  
N\:m<  
  tan(π/2-α)=cotα O1Xx^'WWM  
e`$dZFMb  
  tan(π-α)=-tanα 8HcO{&3  
seI n~n  
  tan(π+α)=tanα c_MF2\_$  
sTl3!BN~a  
万能公式 )n`Z.}  
&TIR1\sE\h  
   n7s/ !+7  
z+A4#rg  
其它公式 5<1i_isj+  
@ ye0N6b  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 f6**2 /\  
=E \_-{   
  1+(tanα)^2=(secα)^2 ! ~O1|xlv?  
X7 QWE;onk  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 vRkkyL  
+a aq  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 :Qmili 0q  
n,t:{dVD  
  对于任意非直角三角形,总有 o4dQkzO{  
lM=[lP(r  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Rp]m?TIt  
Yq4ZA:x  
  证: [=/ })_ae  
/|7XtU  
  A+B=π-C +c!aH_ #Y  
~p<"E;.&Q,  
  tan(A+B)=tan(π-C) EO {ZIb|  
ijcS2<z_  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y5mfmg  
\uR#SalAl  
  整理可得 aNDJa&pX  
Q(A ']O  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "H'iZ|  
{jF!tAh(  
  得证 ixjpR`@C  
:n9yk'  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \iQ\ }IDS  
7O=ca>|@  
其他非重点三角函数 ..qqX7{  
>]*)C.hazz  
  csc(a) = 1/sin(a) <L^n~1Z  
^0\9`a  
  sec(a) = 1/cos(a) B=FO2|{}  
9fi`?he  
   Ae:$Un  
+KT3 z  
双曲函数 PIQ vB~{M  
|t!\<#:g  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 JWi}lH  
@jw~ l +  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 v ^N=gUG  
U\%G5_}&E  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Q "_)A)^q|  
h& ;J}  
  公式一: 3ZAEu1cI  
^sFf ` \  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: @ X3G%e7  
{X}}78}M$  
  sin(2kπ+α)= sinα H,6<C!   
#ee[P LmA  
  cos(2kπ+α)= cosα ^dj< ~>V  
P* MAne  
  tan(kπ+α)= tanα Sa.pNFx  
Oa%T(  
  cot(kπ+α)= cotα 4a 7E}  
\m:+?U5_  
  公式二: |gNLDlq$  
XuqESO  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ){f9 >  
`YoG}%^  
  sin(π+α)= -sinα q$ChQ  
Z#flZ#$K  
  cos(π+α)= -cosα y#{SX#]}U  
)Ov^5K  
  tan(π+α)= tanα eGus<2;j  
'0U4 HWl  
  cot(π+α)= cotα u hex(Km}  
iLkTzu|>  
  公式三: ZTCL4  
~tqoQqc  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: T, a3P  
[4 i@  
  sin(-α)= -sinα !g: j~a  
,r#<]u9eL{  
  cos(-α)= cosα )er '61Np  
KD;h"Z",  
  tan(-α)= -tanα En<u?4Uy  
|z3%C*&  
  cot(-α)= -cotα b2)E=~E ~  
=L.-kEk  
  公式四: EM[Rh'2F`>  
#Im/Df^ Z  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: *qA4&s2qha  
"#4&Rbg.  
  sin(π-α)= sinα R7 E  
w!#T_ZVa  
  cos(π-α)= -cosα ]vhx}^WccF  
Oi;*lhi  
  tan(π-α)= -tanα +r}r1n  
-j 8jiQ_  
  cot(π-α)= -cotα W!i'[YW  
` 5IZ2  
  公式五: WSiO.3+&  
}3bcexK  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: CouS9SV [  
=-65>2  
  sin(2π-α)= -sinα unZq+Cz`R  
g99t8f4\7  
  cos(2π-α)= cosα =,zuD k(  
{.NY p9>  
  tan(2π-α)= -tanα cG4`xi&j  
5Ri)M|dj$  
  cot(2π-α)= -cotα $eU6aitK  
/"1oU^M  
  公式六: *|%YjCWO#  
.] f{kCeE  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 8 wTS>n_  
Cw^mTnv'  
  sin(π/2+α)= cosα eY _]kmV  
YjMueP#y$  
  cos(π/2+α)= -sinα XxB 2SL  
u6r)]E`  
  tan(π/2+α)= -cotα w&y ^e x  
x_et\D&  
  cot(π/2+α)= -tanα hm!;W l/K  
0f2q>/cs  
  sin(π/2-α)= cosα TRV~L=X  
9s($Z/n~D  
  cos(π/2-α)= sinα | )OY0h  
e,;N}qF_^  
  tan(π/2-α)= cotα fS:O-vj0  
nz^\fb8xE  
  cot(π/2-α)= tanα c6 W2,k  
EI 8  
  sin(3π/2+α)= -cosα 146^)7`4(  
8xYrq c  
  cos(3π/2+α)= sinα 62hX'  
H 60 c U  
  tan(3π/2+α)= -cotα u-3y%=##  
/}. Y`r  
  cot(3π/2+α)= -tanα ~m5^4*I|  
co OF6VM  
  sin(3π/2-α)= -cosα p>\ox&P#"  
%cm*|G'  
  cos(3π/2-α)= -sinα p-y]t; !  
~\hU~o  
  tan(3π/2-α)= cotα QRk=Rp^4$2  
'VMFr)  
  cot(3π/2-α)= tanα d }yAa-  
,\Dun`;9n  
  (以上k∈Z) HhI7 S  
2o9;:wow%  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  r-x+_  
PmON.y%1j  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = nA b5  
3L]5.6[  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } LOY't}  
Cinwa/$4qj  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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