三角函数内容规律 ?F%a5$7$
oj=ui#_9,
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4HqdawL
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1、三角函数本质: 2WvjoP
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三角函数的本质来源于定义 1(R
A3O</q
*~%Ib
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y6_ZSn{
y0ut
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 FpF\`sHe&
bxsBl4,j
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: j P 0*-4<
:4 U)?
推导: 'T5XYq4J
Gi
nY'
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 iB6+KU
!8wE"*0i^
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8
kL .7
(R"%w;(
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) caNk${ 8#
[Du19^MJ
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m_XazCezc3
WaJ_RJ_w
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 22"ztf.)
y3Yk~C 5c
[1] }yR($c7dF
{txzKU
两角和公式 %9FHf\i
}gw<G'/p{
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s!~iFxl#%
)1N &M#E<=
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB K[>q'|
OQCd4Q K
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }8W'|U(
Q:@]^bL#$
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB WFL@d'd
ze
3=80wJWu
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zAESYxH?.
CP,nW:
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0T!plfGSB
zlz5+
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 43j}V)
CY r,cIT8
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) KoSZY'
!]6|o
倍角公式 ^Qmj
omO)s}
Sin2A=2SinA•CosA Q/' {W
U$K<i
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 y h9=A
b\B|+:
tan2A=2tanA/(1-tanA^2)
G.mHc$
[Q"DPJ
G
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) JF@H!u2Nuu
?zjZA,w
三倍角公式 ]2z+CE05Ek
\4#to'2c
~^H\O1fI
l*g%6Ew '
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) vt6xAlt(D?
Fx ?/;2%
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
zS%XyMa
E
`QW16)3jX`
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _p(|~gJ<>
`LOyk9a0
三倍角公式推导 M?
n*\
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sin3a
c\PZQ
:u4"|8oa
=sin(2a+a) x l2>xu
;J6TV6,
=sin2acosa+cos2asina aI|od3;*w4
Cppxy6]U
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina MM`JGW
[uF^IJF+
=3sina-4sin³a _`sqKNY%m^
w;S;`Uw
cos3a iM=3ct'
J.*"ZHb_
=cos(2a+a) bQ68nvk U
lrdo:Q
=cos2acosa-sin2asina nUk0Y1KqCu
]J_T2m
w
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ey73[j6V
FQE`.~A
=4cos³a-3cosa #DT 6T^(
c,(3& i
sin3a=3sina-4sin³a 7.60^ @R
1~pW)W}
=4sina(3/4-sin²a) h!5CGrZQ
-n$m
=4sina[(√3/2)²-sin²a] vU(5{
?-"ZpJ
=4sina(sin²60°-sin²a) r/g_$p^9
$S-S
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) x]VD[C9t
O+
4zW4;\n
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;n\plj}F=&
Q^0Y]_|$
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) $i#n./!eiQ
oSoHo[
cos3a=4cos³a-3cosa ^V/2xiW/
nw Zgy
=4cosa(cos²a-3/4)
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M/@)
H7_c"F%
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] G#=)6ryN
+:HsOC\*
=4cosa(cos²a-cos²30°) J*z9 :_W
n
/004
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) deR'A%z`p
!'.yX2l1A[
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
iL)IuSvr
V<{|f~E c
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d!~eSNp
_wP=l
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] J 2F W4
xI"`
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X#[@m%1
N,jm^E;
{
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B_<QoFo=
0RJ7_daD8
上述两式相比可得 )Vwpb}c,x
3O83-?
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _b3 P
@!G
h8
半角公式 yYo
*?Gf+LDy
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); M0D/{lSIj
!D0NI/d.*
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <E+{A)
M2=vH\~:.;
和差化积 Dgx!u<V{d
"qJDOiq*
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +/eFY
|pM D
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !Na`8)%Gi
F4 1fMO-
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $49pqoyGt
"Od[ta{4
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;$SO%F0
NaEBRGo_s
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (.=)_[X
16>`"}'
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ek`mwt;m
_WozdcQ
积化和差 1_""hW
*f8Y]W+Mw
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8p{"2q\
EC\IH87
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k?o8\1iX8
v[CEdK
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .5?C J 5 H
XIn6,
h:
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] jjAimuoC
]]g:Q
诱导公式 ZqPDVt<7w
hC"&6PY]
sin(-α) = -sinα $~{\:p`@+
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cos(-α) = cosα JUSs-4ti
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sin(π/2-α) = cosα uqkpMi
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cos(π/2-α) = sinα t^^y)GMC
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sin(π/2+α) = cosα }:Z2-,@k
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cos(π/2+α) = -sinα u=7nd9
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sin(π-α) = sinα !T.AKb
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cos(π-α) = -cosα /YS~i^;
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sin(π+α) = -sinα 27kJy
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cos(π+α) = -cosα ,?QBSv
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tanA= sinA/cosA Sz
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y
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tan(π/2+α)=-cotα DfKctFr
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tan(π/2-α)=cotα O1Xx^'WWM
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tan(π-α)=-tanα 8HcO{& |